NORMUNDS ŠNĒ absolvējis Jāzepa Vītola Latvijas Mūzikas akadēmijas obojas spēles klasi un diriģēšanas meistarklasi. Mācījies pie Viļņa Pelnēna, Heinca Holigera, Tamāras Fidleres, Jurija Simonova, Jormas Panulas, Imanta Rešņa.
Kopš 2007.gada māca obojas spēli Jāzepa Vītola Latvijas mūzikas akadēmijā. No 1978. līdz 1997.gadam bijis Latvijas Nacionālā simfoniskā orķestra oboju grupas otrais koncertmeistars, bet kopš vidusskolas gadiem - solists un kameransambļu dalībnieks.
Normunds Šnē ir 2006.gadā dibinātā Valsts kamerorķestra SinfoniettaRīga mākslinieciskais vadītājs. 1999.gadā dibinājis un ilgstoši vadījis Rīgas Festivāla orķestri. No 1987. līdz 2006.gadam bijis orķestra Rīgas kamermūziķi mākslinieciskais vadītājs, sadarbojies ar Latvijas Nacionālo simfonisko orķestri (1996-1998) un Liepājas simfonisko orķestri (1997-1998). Kopš 1998.gada iestudē un vada izrādes Latvijas Nacionālajā operā.
Sspēlējis oboju un ģitāru, kā arī bijis skaņu režisors progresīvā roka grupās "Salve", "Sīpoli", "Marana", dažādu žanru CD ierakstu producents un māsteringa inženieris.
Muzicējis kopā ar Pīteru Donahjū, Izabellu Faustu, Martinu Frestu, Patriku Galuā, Dāvidu Geringu, Tatjanu Grindenko, Natāliju Gūtmani, Gidonu Krēmeru, Kristianu Lindbergu, Trulsu Mjorku, Krispianu Stīlu Perkinsu, Terji Rīpdālu, Mstislavu Rostropoviču, Džo Zavinulu u.c.
Koncertējis Austrālijā, Austrijā, Dānijā, Francijā, Itālijā, Japānā, Krievijā, Lielbritānijā, Nīderlandē, Norvēģijā, Somijā, Spānijā, Šveicē, Vācijā, Zviedrijā.
Sešas reizes dažādās nominācijās saņēmis Latvijas Lielo mūzikas balvu, Triju Zvaigžņu ordeņa virsnieks.
Kaislīgs radioamatieris, 1980.gada pasaules čempions, 2006.gada Eiropas čempionāta 2.vietas ieguvējs, Latvijas Radioamatieru līgas valdes loceklis.